öss hazırlık

AÇILAR

TEMEL KAVRAMLAR

1. Nokta

- Büyük harfle gösterilir. A, B, ......... gibi
- Boyutsuzdur. ·A

2. Doğru

- Tek Boyutludur (R=R)
- Her iki yönde sınırsızdır.
- Uzayda farklı iki noktadan sadece bir doğru geçer.
- Üzerindeki noktalar ile, Reel sayılar arasında birebir (1-1) eşleme yapılabilir. Yani her nokta bir reel sayıya karşılık gelir.

- d
        A          B

"AB" veya "d" şeklinde gösterilir.

3. Doğru Parçası

- Sonsuz uzunluktaki doğrunun, sonlu uzunluktaki parçasıdır.
- Bir doğru üzerindeki farklı iki nokta (A,B) ve bunlar arasında kalan tüm noktaların kümesidir.

             A       B
       d

- [AB] şeklinde gösterilir.
- Uzunluğu (ölçüsü); IABI=......... birim.

a) Açık Doğru Parçası

- Başlangıç ve bitim noktalarının dahil olmadığı (A,B) doğru parçasıdır.

       A       B
      

- ]AB[ şeklinde gösterilir.

b) Yarı Açık Doğru Parçası

- Başlangıç veya bitim noktalarından sadece birisinin dahil olmadığı doğru parçasıdır.

  A              B
- , [AB[ şeklinde gösterilir.

  A             B
- , ]AB] şeklinde gösterilir.

 4. Işın

- Tek yönde sınırsızdır.

A        B
- , [AB şeklinde gösterilir.

5. Yarı Doğru

A       B

- Işından başlangıç noktası çıkarılırsa elde edilen doğrudur. [AB-{A}

6. Eş Doğru Parçaları

- Uzunlukları eşittir.
IABI=ICDIÛ[AB]@[CD]

 A          B          C
-

IABI=IBCI ise B noktası [AC] nin orta noktasıdır.

7. Düzlem (IR):

- İki boyutludur. (En ve boy)
- Her yönde sınırsızdır.

         şeklinde gösterilir.

(A); düzlemin sembolik ifadesidir.
- Düzlemin içindeki "n" tane doğru;
- Düzlemi en az : (n+1) bölgeye

8. Uzay (R):

- Üç boyutludur.
- Nokta kümeleri için (nokta doğru, düzlem) evrensel kümedir.

9. Konveks (Dışbükey) ve Konkav (İçbükey) Nokta Kümeleri:

- Herhangi bir nokta kümesi içinde bulunan farklı iki noktayı (A,B) birleştiren doğru parçası ([AB]) daima kümenin içinde kalıyorsa küme konveks, kalmıyorsa konkavdır.

Konveks Küme Örnekleri:

- Nokta doğru, doğru parçası ışın, yarı doğru, düzlem, uzay konvekstirler.

Kokav Küme Örnekleri

- Konveks iki kümenin kesişimi konvekstir.
- Konveks iki kümenin birleşimi bazen konvekstir.

10. Paralel Doğrular

- Aynı düzlemde bulunan ve hiçbir ortak noktası olmayan (kesişmeyen) doğrular birbirine paraleldir.

11. Aykırı Doğrular

- Farklı düzlemlerde bulunan ve birbirlerini kesmeyen doğrulardır.

12. Açı

- Başlangıç noktaları ortak iki ışının birleşimi sonucu ortaya çıkar.

 13. Açının Ölçüsü

şeklinde ifade edilir.

- Ölçüleri eş olan açılar eş açılardır.

14. Açı Ölçme Birimleri

a) Derece: Bir çenberi 360 eşit parçaya böldüğümüzde her bir parçayı gören merkez açı 1 derecedir. (1)

 BC yayı a tane eş parçaya ayrılmış ise

m(BAC)=a
1=60' (' = dakika)
1' =60'' ('' =saniye)

b) Grad: Bir çemberi 400 eş parçaya böldüğümüzde her bir parçayı gören merkez açı 1 graddır. (1)

c) Radyan: Bir çemberde uzunluğu çemberin yarı çapına (r) eşit olan yayı gören merkez açı 1 radyandır.

18. Açı Birimlerinin Birbirine Çevrilmesi

 16. Komşu Açılar

- Köşeleri ve birer kenarları ortaktır. (a ve b komşudur.)

17. Açı Çeşitleri

a) Dar Açı

- Ölçüsü 90den küçük açılardır. 0<90

- Dar Açılı Üçgen: İç açıları dar açı olan üçgendir

b) Dik Açı

- Ölçüsü 90olan açılardır. q =90

- Tümler Açılar: Ölçüleri toplamı 90 olan iki açıdır.

c) Geniş Açı

- Ölçüsü 90den büyük açılardır.

- Geniş Açılı Üçgen: Bir açısı geniş açı olan üçgendir.

- Ölçüsü 180 olan açıdır.

- Bütünler Açılar: Ölçüleri toplamı 180 olan iki açıdır.

18. Doğrular Arasında Oluşan Açılar

a) Ters Açılar

- Kesişen iki doğru arasında oluşan a-a ve b-b çiftleri ter açılardır.
- Ters açılar EŞTİR.

b) Yöndeş

(aynı Yönde (sağ-sağ, sol-sol) Aynı pozisyonda (üst-üst, alt-alt) ) Açılar:

- Yöndeş açılar EŞTİR

c) İçters Açılar (Ters (sağ-sol)):

- İçters açılar EŞTİR

d) Dışters Açılar

- Dışters açılar EŞTİR

e) Karşıt Durumlu Açılar

- Karşıt açılar BÜTÜNLERDİR

19. Açıortay

- Önemli bir kavramdır. Oldukça fazla soruya malzeme olmaktadır.
- Bir açıyı iki eş parçaya ayıran ışındır.

- Açıortay üzerinde alınan herhangi bir noktanın, açının kollarına olan uzaklıktan daima eşittir.

İspat: ABO-AB'O (AAA)
Fakat [AO] her iki üçgen için ortak hipotenüs olduğundan (A.K.A) eşlik teoremi (a-[AO]-b) ile iki üçgenin eş olduğu ortaya çıkıyor.

ABO-AB'O (A.K.A)
IABI=IAB'I

20. Komşu iki açının açıortayları arasında kalan açı, bu iki açının toplamının yarısıdır. (Aritmetik ortalama)

21.

- ABC açısı eşit parçalara (a) bölünmüş ise oluşan aynı yönlü açılar (a,b,c,d... kendi arasında; x,y,z,m .... kendi arasında) aritmetik olarak artarlar ve aritmetik dizi oluştururlar.
a+a=b a+2a=c a+3a=d
x+a=y x+2a=z x+3a=m
olduğu görülür. Buradan.

22. Kenarları Paralel Açılar

23. Kenarları Dik Açılar

24.

25.

26.

- Bu şekilde d1 ve d2 arasında 6 tane kırıklanma yeri vardır. Birer atlanarak sağa ve sola bakan açılar belirlenir. (3 sağ+3 sol=6 açı) Sağa bakanların toplamı, sola bakanların toplamına eşittir.

a+b+c=x+y+z

27.

- Kırıklanmalarda aynı yöne bakan açıların toplamı
a+b+c+d+e+f+g=(n-1).180
                               

Burada 7          Kırık veya açı sayısı
kıraklanma ve
7 açı vardır.

28. Üçgen

- Üçgen bir düzlemi 3 bölgeye ayırır.

29. Açı Kuralları

a)

- Yukarıdaki şekilde görülebileceği gibi üçgenin bir köşesine ait iç açı (A,  B, C) ile o köşeye ait

dış açı (A, B, C) bütünler açılardır.

İç açı+ Dış açı=180

 A + A = B + B = C + C =180

b) Bir üçgende iç açıların toplamı 180dir.

c) Bir üçgende iki iç açının toplamı, kalan üçüncü açının dış açısına eşittir. 2iç=1dış

d) Bir üçgende dış açıların toplamı 360

30. İki İç Açıortay Arasında Kalan Açı

31. İki Dış Açıortay Arasında Kalan Açı

32. Bir İç ve Bir Dış Açıortay Arasında Kalan Açı

33. Yükseklik ve Açıortay Arasında Kalan Açı

34. Dik Üçgende: Yükseklik ve Kenarortay Arasında Kalan Açı