öss hazırlık

DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELENMESİ

1. Analitik Düzlem-Koordinat Sistemi :

a) İki reel sayı doğrusu, "0" referans sayıları birbirleriyle çakışacak şekilde birbirlerine dik kesiştirilirse ortaya DİK KOORDİNAT SİSTEMİ çıkar. Bu doğrulardan biri (yatay olanı) x eksenini (APSİS EKSENİ); diğeri (düşey olanı) y eksenini (ORDİNAT EKSENİNİ) oluşturur.

İki tek boyutun (R) çakışması ile R yani çift boyutlu ANALİTİK DÜZLEM ortaya çıkar.
R=RxR={(x,y)|x ÎRLy Î R}
Bu sistemde bir noktanın koordinatı (yeri) 2 bileşenle (sıralı ikili) tespit edilir.
- x bileşeni (yatay bileşen-APSİS)
- y bileşeni (dikey bileşen-ORDİNAT)
Bu 2 bileşen noktanın KOORDİNATLARIDIR.

c) R de bir nokta ya eksenler üzerinde (x veya y) ya da 4 bölgede bulunabilir:

Kısaca şöyle gösteririz:

2) R de iki nokta arası uzaklık:

Düzlemde A(x1 , y1) ve B(x2 , y2)  noktaları arası uzaklık ([AB] doğru parçasının uzunluğu) ABC dik üçgeninde PİSAGOR'dan:

3) Bir doğru parçasının orta noktasının koordinatları :

Şekle göre oluşan dik yamukların ortak tabanlarını bulursak :

4) Bir doğru parçasını belli bir oranda bölen noktanın koordinatları:

I) k<0 ise C noktası [AB] yi içten böler
II) k>0 ise, C noktası [AB] yi dıştan böler
III) k=-1 ise C noktası orta noktadır.

5) Bir A(x,y) noktasının simetrikleri:

a) Orjine göre simetri:

(Orjini orta nokta olarak düşününüz!)

b) x eksenine (y=0 doğrusu) göre simetri:

((x,0) noktasını orta nokta alınız, veya y=0 doğrusuna göre simetri alınız.)

c) y eksenine (x=0 doğrusu) göre simetri:

((0,y) noktasını orta nokta alınız, veya x=0 doğrusuna göre simetri alınız.)

d) y=x doğrusuna göre (1. açıortay) simetri:

İspat:
OAA' üçgeni ikizkenardır.
q+a=45

|HO|=|H'O|=x
|AH|=|A'H'|=y
A(y,x) olur.

e) y = -x doğrusuna (2. açıortay) göre simetri:

f) A(x,y) noktasının B(xb, yb) noktasına göre simetriği:

(B noktasının orta nokta olduğuna dikkat ediniz!)

g) x=a doğrusuna göre simetri:

A'(2a-x, y)
((a,y) noktasının orta olduğuna dikkat ediniz!)

h) y=b doğrusuna göre simetri:

((x,b) nin orta nokta olduğuna dikkat ediniz!)
Not: f(x,y)=0 denklemi ile verilen herhangi bir eğrinin (doğru, parabol vb. eğriler) simetrilerinde, anlattığımız kurallar uygulanır. Çünkü tüm f(x,y)=0 eğrileri A(x,y) gibi ¥ tane noktadan oluşmuştur. Her bir nokta verdiğimiz simetri kurallarını sağlayacağından eğride genel simetri kurallarına uymak zorundadır.

6.

ABCD dörtgeni bir paralelkenar ise karşılıklı köşelerinin apsisleri toplamı birbirine; ordinatları toplamı birbirine eşittir.

(İspatı orta nokta koordinatlarından yapabilirsiniz!)

7.

Bir ABC üçgeninin ağırlık merkezi olan G nin koordinatları:

İspat: G, [AD]yi 2:1 oranında içten bölen noktadır.

8. Yukarıdaki ABC üçgeninin alanı:

Determinant açılımından;

Eğer S=0 ise A, B, C noktaları lineerdir. (Doğrusal)

Alan formülü ispatı:

=A(AA'B'B) + A(AA'C'C) - A(BB'C'C) tan ispatlanabilir.

9) Bir doğrunun eğim açısı ve eğimi:

- Doğrunun en önemli özelliği, eğiminin her yerinde sabit olmasıdır ki, formüller bu özellikten yararlanılarak çıkartılabilir.
- Eğim doğrunun +x ekseni ile yaptığı açının tanjant değeridir.
- Genelde m harfi ile gösterilir.

İki noktası bilinen doğrunun eğimi:

- Bütünler iki açının tg'ları birbirlerinin zıt işaretlisi olduğundan:

tga=-tgb

- Paralel doğruların eğimleri eşittir.
- Dik kesişen doğruların eğimleri çarpımı (-1) dir.

- Sık kullanılan bazı açıların tg değerlerini verelim:

10) İki doğru arası açı:

* İki doğru paralel ise eğimleri eşittir.
(Aralarındaki açı 0° dir. tg0°=0)

* İki doğru dik ise eğimleri çarpımı (-1) dir.
(Aralarındaki açı 90°, tg 90°= tanımsız)

11) Doğru Denklemleri:

a) 2 noktası bilinen doğru denklemi:

A ve B bilinen noktalar ve D ise doğruya ait tüm noktaları simgeleyen değişken bir nokta olsun.
Eğimin sabit oluş özelliğini kullanarak;

b) Bir noktası ve eğimi bilinen doğru denklemi:

D noktası doğruya ait değişken noktalar olsun;

c) Eksenleri kestiği noktalar bilinen doğrunun denklemi:

12) Doğrunun yazım şekilleri:

Doğrular genelde iki türlü yazılır:

a) y=mx+n şeklinde genel denklem

Doğrunun eğimi

b) ax+by+c=0 şeklinde kapalı denklem

Buradan;
by=-ax-c

y= m . x + n olduğuna göre ;

c) Parametrik denklemler:
x=f(t)
y=g(t) şeklinde üçüncü bir "t" parametresi

x ve y' yi şartlandırmışsa "t" yok edilerek x ve y birbirine bağlı olarak yazılır.

Örnek:

x=f(m)=2m-1
y=h(m)=-4m+5
parametrik denklemleri ile ifade edilen doğrunun genel denklemi nedir?

                          2/x=2m-1
                           y=-4m+5

                        +
                              2x+y=3

                           y = -2x+3

13) 2 doğrunun birbirine göre durumları:

2 doğru denklemi verilsin. Bu denklemlerin iki bilinmeyenli (x,y) birinci derece denklemler olduğunu ve çözüm kümelerini bulma işleminin, doğruların birbirlerine göre durumlarını bulma işlemi ile aynı olduğunu görebilirsiniz.

I.

 ise
iki doğru çakışıktır-aynıdır- (d1=k.d2)   - doğrular ¥ noktada kesişirler veya iki denklemin çözüm kümeleri ¥ elemanlıdır. ÇK= R

II.

Doğrular paraleldir-kesişmezler- ortak çözümleri yoktur veya denklemin ortak çözümü yoktur.
ÇK=Ø

d1
III. A(x,y)

Ortak nokta

- Doğrular bir noktada kesişirler. Denklemin çözüm kümesi bir tek sıralı ikilidir.
ÇK={A}
- Bu noktayı bulmak için denklemlerde evvela x veya y yok edilerek diğeri bulunur. Sonra bulunan, herhangi bir denklemde yerine konulur ve sıralı ikili bulunmuş olur.

14. Bir noktanın, doğruya uzaklığı:

15. İki doğrunun (paralel) birbirine uzaklığı:

2. yol: Doğrulardan herhangi birisi üzerinde rastgele alına A(xo,yo) noktasının diğer doğruya uzaklığı:

16. Doğru demeti:

Bir noktadan geçen ¥ tane doğruya doğru demeti denir.

17. İki doğrunun açıortay denklemleri:

Formül çıkarılışının şu temel kurala dayalı olduğunu görebilirsiniz:

AÇIORTAY ÜZERİNDEKİ HERHANGİ BİR A(x,y) NOKTASININ AÇININ KOLLARINA OLAN UZAKLIKLARI BİRBİRİNE EŞİTTİR.

18.

Paralel d1 ve d2 doğruları arasında kalan d3'ün denklemi;

d3:d1 ve d2 ye eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeridir.

19. Eşitsizlikler:

1. yol: Doğrunun grafiği çizilir. Doğrunun üzerinde olmayan herhangi bir nokta alınır(Genelde kolaylık sağlaması için orjin O(0,0) alınır.) Bu nokta eşitsizlikte yerine konulur. Eşitsizlik gerçekleşiyorsa noktanın bulunduğu kısım; değilse diğer kısım taranır.
2. yol: y=mx+n doğrusu çizilir. y>mx+n hallerinde grafiğin üst kısmı; y